Фамилия Шкленская — женская форма, а её мужской вариант — Шкленский. Такие фамилии на -ский/-ской в русской традиции чаще всего указывают на географическое происхождение: их получали выходцы из какого-то места, владельцы имения или переселенцы, которых записывали по названию покинутого села.

Основа фамилии — топоним Шкленск или Шклена. Скорее всего, речь о населённом пункте вроде Шклов (Белоруссия) или о деревне с похожим корнем. В белорусских и польских землях существовали названия вроде Шкленики, Шклёна, Шкленевщина. Корень «шкл-» — это вариант слова «скло» (стекло) в западнорусских говорах, поэтому первичное значение — «стекольный», «относящийся к стеклу». Фамилия могла закрепиться за человеком из места, где варили стекло, или за тем, кто жил у стекольного завода.

Менее вероятна, но возможна версия от прозвища Шкленя — так могли назвать стеклодува, торговца стеклом или просто человека со стеклянными глазами (бесцветными, прозрачными). Однако в русской ономастике прозвища редко дают фамилии с суффиксом -ский, этот суффикс характерен для дворянских и шляхетских родов, а также для тех, кого записывали по месту жительства. Поэтому географическая версия — основная.

Судя по окончанию, фамилия скорее польского или белорусского происхождения, чем великорусского. В Речи Посполитой фамилии на -ский носили не только паны, но и крестьяне, переселявшиеся из одного села в другое. Носитель фамилии Шкленский мог быть шляхтичем герба, а мог — крестьянином, которого помещик записал по названию его родной деревни. Точных данных о сословной принадлежности без генеалогического исследования нет.

Встречаемость фамилии редкая. В современных базах Шкленские фиксируются в основном в Белоруссии, на западе России и в украинском Полесье. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в районе Могилёвской или Витебской губерний — там исторически было много стекольных мануфактур и хуторов с похожими названиями.