Фамилия Шляжайте — один из тех редких случаев, когда написание сразу подсказывает географию и национальную окраску. Она явно не великорусская: суффикс -айт(е) характерен для литовской и, реже, латышской модели образования фамилий. В литовском языке это типичный патронимический или посессивный суффикс, указывающий на принадлежность: буквально «сын такого-то» или «из рода такого-то». Если бы фамилия была русской, она скорее получила бы окончание -ов или -ин, но здесь мы видим балтийский след.

Основа фамилии — «Шляж-». Самое прямое и очевидное объяснение: от литовского слова šliaužti — «ползти», «тащиться», «медленно двигаться». В диалектах могло быть и šliaža — «ползун», «медлительный человек». Прозвище Шляжа могли дать человеку неторопливому, вялому или, наоборот, тому, кто умел незаметно подкрадываться (охотник, следопыт). Встречается и вариант, что корень восходит к šlajas — «косой», «кривой», но это менее вероятно: слово šliaužti распространено шире и дало много однокоренных фамилий, например, Шляжис, Шляжявичюс.

Поскольку фамилия заканчивается на -айте, а не на -явичюс, она может указывать на конкретную местность в Литве или на исторической территории Великого княжества Литовского — в Жемайтии или Аукштайтии. В XIX веке, при русификации, такие фамилии часто записывали на русский лад, но Шляжайте сохранила оригинальное окончание, что говорит о позднем оформлении или о том, что носители оставались в среде, где литовский язык не вытеснялся полностью.

Встречается и версия, что Шляжайте — это форма от женского рода: в литовском языке фамилии женщин образуются с суффиксами -aitė, -ytė, -utė. То есть Шляжайте могла быть первоначально девичьей фамилией дочери Шляжиса. Но в русском контексте она закрепилась как неизменяемая фамилия для всех потомков, независимо от пола. Социальный статус предков, скорее всего, был крестьянским или мещанским: прозвища по внешним чертам или поведению давали в низших сословиях. Дворянские фамилии Литвы чаще имели окончания -ский/-цкий или были двусоставными.

Однокоренные фамилии в России — Шляхов, Шляхин — восходят к слову «шлях» (дорога, путь) и имеют совсем другую этимологию. Шляжайте с ними не связана. Разница в корне принципиальна: польское «шлях» и литовское «шляужти» — разные языковые пласты. Это стоит помнить, чтобы не путать балтийскую фамилию с польско-украинскими следами.