Фамилия Шырокий — редкий случай орфографического разнобоя, застывшего в документах. Её основа — прилагательное «широкий», но написание через «ы» вместо привычного «и» — не ошибка, а историческое свидетельство. В XIX — начале XX века, особенно в южнорусских и украинских губерниях, произношение твёрдого «ш» перед гласной могло передаваться на письме как «шы». В метрических книгах и ревизских сказках одну и ту же семью могли записать то Широкий, то Шырокий, и если вариант с «ы» закрепился в паспорте или военном билете, он становился официальной фамилией.

По словообразовательной модели Шырокий — это фамилия-прилагательное в полной форме, типичная для украинской и польской традиции (сравните: Богатый, Весёлый, Хитрый). В русской ономастике такие фамилии встречаются реже, чем на -ов или -ин, и чаще принадлежали казакам, мещанам или однодворцам южных областей. Суффикс -ий указывает на то, что прозвище Широкий (человек с широкими плечами, широким лицом или широкой душой) перешло в фамилию без дополнительных оформлений.

Географически фамилия Шырокий тяготеет к Украине, Беларуси и югу России — Курской, Воронежской, Ростовской областям. Встречается и у потомков запорожских казаков, переселявшихся на Кубань. В отличие от распространённой фамилии Широков, которая образована от той же основы, но с патронимическим суффиксом -ов, Шырокий сохраняет прямую связь с прозвищем и не указывает на отца, а напрямую описывает самого первого носителя.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» форма Шырокий не выделяется отдельно, но упоминается в контексте региональных вариантов написания. Споров о происхождении здесь нет: корень ясен, а написание — просто орфографический артефакт, который не меняет значения. Если ваша фамилия записана именно так, скорее всего, предки жили на территории, где твёрдое произношение шипящих фиксировали на письме до орфографической реформы 1918 года.