Фамилия Сивулицкая — женская форма фамилии Сивулицкий, и её разбор стоит начать с географического корня. В отличие от большинства русских фамилий на -ов/-ин, эта образована по модели, характерной для польской и западнорусской (белорусской, украинской) шляхты: суффикс -ицк-/-ыцк- указывает на происхождение от названия места. Носитель такой фамилии — человек, чьи предки владели или жили в населённом пункте с корнем «Сивул-» или «Сивуль-».

Сам корень, скорее всего, восходит к древнерусскому прозвищу Сивуля. В основе лежит прилагательное «сивый» — седой, пепельно-серый. В говорах «сивый» могло означать не только цвет волос, но и масть скота или даже характер: сивым называли угрюмого, хмурого человека. Уменьшительный суффикс -ул- (-уль-) придаёт прозвищу оттенок ласкательности или, наоборот, пренебрежения. Таким образом, Сивуля — это человек с прозвищем «Седой» или «Сивка» (сравните с конём Сивкой-Буркой).

Вероятные топонимы: село Сивульцы (такие встречаются на территории современной Украины, в частности в Хмельницкой области) или деревня Сивулиха. От названия такого поселения и возникла фамилия Сивулицкий. Модель на -ицкий типична для польской и белорусской шляхты, осевшей на землях Речи Посполитой. Если ваши предки носили эту фамилию, они могли быть мелкопоместными дворянами или крестьянами, приписавшимися к определённому селу.

Есть и более редкая, прозвищная версия: напрямую от слова «сивуля» — так в некоторых диалектах называли не только седого человека, но и самодельную деревянную соху или плуг. В этом случае фамилия могла указывать на ремесло: предок либо делал такие орудия, либо был пахарем. Однако географическое происхождение (связь с местом) для фамилий на -ицкий считается более вероятным.

Фамилия редкая, в современных списках встречается в основном на Украине и в южных регионах России, куда переселялись крестьяне и казаки. Её написание с буквой «и» в корне (Сивулицкая, а не Сивульская) — ещё одно подтверждение книжного, а не народного происхождения: в русском языке на месте «и» в подобных заимствованиях из польского часто появлялось «ы» (как в фамилии Быстрицкий), но здесь сохранился исходный вариант.