Фамилию Скилкова стоит разбирать через мужскую форму — Скилков, а не напрямую от женского окончания. Основа здесь — прозвище или неканоническое имя Скилко. Суффикс -к- в таких прозвищах обычно указывал на человека по характерному действию или предмету, а -ов — стандартный русский патронимический суффикс, означающий «сын Скилка» или «принадлежащий Скилку».

Самая прямая версия связывает прозвище Скилко с глаголом «скилить» — в русских говорах это означало «скалиться, ухмыляться, насмехаться». В словаре Даля «скилить» — «осклабляться, зубы скалить». Человек с таким прозвищем мог быть насмешником, зубоскалом или просто обладателем привычки широко улыбаться. Второй вариант, менее вероятный, — от «скиляга» (скупой, скряга), но эта основа встречается реже и обычно даёт другие суффиксы.

Встречаются фамилии Скилков и Скилкова в Вологодской, Архангельской и Кировской областях — это зона северных и северо-восточных русских говоров, где «скилить» было в ходу. Интересно, что в некоторых местных диалектах слово «скил» означало также «осколок, щепка» — тогда прозвище могло относиться к плотнику или человеку, работающему с деревом, но эта версия слабее, так как суффикс -к- от предметного названия строится иначе (от «скил» было бы Скилов, а не Скилков).

Фамилия не относится к дворянским или старым боярским — это типичная крестьянская или посадская фамилия, образованная в XVII–XIX веках по модели, когда прозвище становилось родовым именем. Скилковы в ревизских сказках встречаются среди государственных крестьян и мещан, без громких титулов.

Коротко: предок носителя этой фамилии — человек по прозвищу Скилко, скорее всего насмешник или улыбчивый, а сама фамилия крепко держится в северорусском ареале.