Фамилия Склейнис звучит нехарактерно для русской ономастики, и это первая подсказка. Её основа — не славянский корень, а латышское или литовское слово. Скорее всего, перед нами фамилия балтийского происхождения, адаптированная к русскому бытованию.

Разбираем словообразовательную модель. В русских фамилиях типичны суффиксы -ов, -ев, -ин. Здесь же мы видим окончание -ис, которое в русском языке воспринимается как окончание, а в литовском — как стандартный именной суффикс. Фамилии на -ис в Литве — обычное дело, они указывают на принадлежность к роду или происхождение от лица. Если добавить к этому, что в Латвии аналогичные фамилии часто заканчиваются на -с, то Склейнис — это русифицированная или полонизированная форма исходной балтийской фамилии Skleinis или Skleinis.

Корень skle- или sklei- восходит к балтийским языкам. Наиболее вероятная версия — связь с литовским глаголом skleisti («распространять», «развёртывать») или существительным skleidėjas («распространитель»). В таком случае прозвище Склейнис мог получить человек, занимавшийся распространением чего-либо — новостей, товаров, листовок. В крестьянской среде это мог быть коробейник или разносчик. Менее вероятна, но возможна связь с латышским sklejot («разбрасывать», «сеять»), что указывало бы на род занятий сеятеля или земледельца, работающего на разброс.

Другая версия, которую стоит упомянуть, — топонимическая. В Литве и Латвии есть несколько мелких хуторов и урочищ с похожими названиями (например, Склеи, Склейняй). Фамилия могла закрепиться за выходцем из такого места. В пользу этой версии говорит то, что суффикс -ин- в составе фамилии (как в русском «Склейнин») иногда указывал на принадлежность к местности, но здесь мы имеем дело именно с балтийским -ис.

География бытования фамилии Склейнис в современной России — это в основном северо-западные регионы: Псковская, Ленинградская области, а также Калининградская область. Именно здесь исторически были сильны балтийские влияния и проживало много литовцев и латышей. Встречается фамилия и в Беларуси, особенно в её северо-западной части.

Таким образом, носитель фамилии Склейнис с высокой вероятностью имеет предков из Литвы или Латвии. В основе фамилии лежит либо прозвище по занятию (распространитель, сеятель), либо указание на место жительства. Русский язык придал фамилии удобное для произношения окончание, но балтийская суть осталась неизменной.