Фамилия Соковерская — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии. Это типичная «топонимическая» фамилия, то есть образованная от названия места. Суффикс -ск- указывает на дворянское или шляхетское происхождение: так в Речи Посполитой и Российской империи оформляли фамилии владельцев имений и поместий. Женская форма Соковерская, соответственно, происходит от мужской Соковерский.

Основа фамилии — почти наверняка название населённого пункта Соковерки или Соковер. Такие топонимы встречаются на западе современной Беларуси и в восточной Польше, в зоне исторического влияния польского языка и православно-католического пограничья. Корень «сок-» может восходить к древнерусскому «сокъ» (сок дерева, влага) или к слову «сокол» в диалектном произношении, но для топонима вероятнее первое: «соковер» — возможно, «место, где текут соки» (берёзовый сок, смола) или искажённое «суховер» (сухой верх, возвышенность). Вторая часть «-вер» — от «вершить», «верх», то есть «верхнее место».

В отличие от фамилий на -ов/-ин, которые в крестьянской среде давались по отцу (Соколов — сын Сокола), фамилия Соковерский почти не встречается в подушных переписях крестьян центральной России. Её носители — скорее всего, мелкопоместная шляхта или однодворцы (потомки служилых людей, живших на южных рубежах). В XIX веке фамилия могла перейти к крестьянам, если помещик Соковерский дал свою фамилию дворовым людям, но это уже вторичное явление.

Спорных версий немного. Можно предположить прозвище Соковер — человек, который «вертит соки» (например, винодел или самогонщик), но тогда фамилия звучала бы как Соковеров. Суффикс -ский такую профессию не оформляет. Поэтому основной вариант — топонимический. Если ваши предки Соковерские — ищите их корни в Гродненской, Минской или Витебской губерниях, а также на территории современной Польши (Подляское воеводство). Там эта фамилия встречается до сих пор, хотя и редко.