Фамилия Срегеюк — редкий пример, где нестандартная запись скрывает вполне прозрачную этимологию. Скорее всего, это украинская или белорусская фамилия, образованная по продуктивной модели с суффиксом -юк. Суффикс -ук/-юк в этих языках указывает на сына, ученика или младшего родственника: Петренко — сын Петра, а Срегеюк — сын (или потомок) человека по имени Срегей.

В основе лежит имя Срегей — фонетический вариант канонического имени Сергей. В украинских и белорусских говорах, особенно в западных регионах, начальное «Сер» могло заменяться на «Сре» из-за ассимиляции гласных или под влиянием местного произношения. Ср.: известные фамилии Сретенский (от Сретеня — праздник Сретения) или диалектное «среда» вместо «середа». Таким образом, Срегеюк — это «маленький Сергей» или «потомок Сергея», где имя дали в народной, бытовой форме.

Географически фамилия тяготеет к западноукраинским землям (Волынь, Подолье, Галичина) или юго-западной Беларуси. В этих регионах суффикс -юк особенно частотен, а диалектные варианты имени Сергей (Серега, Срегей) фиксируются в исторических записях. Встречается написание Срегейюк — с двойным «й», но это уже описка или поздняя русификация.

Сословно носители фамилии, скорее всего, относились к крестьянству или казачеству. В польско-литовский период такие фамилии на -юк часто закреплялись за «хлопами» (крестьянами) и мещанами, реже — за шляхтой, но без дворянского статуса. Прозвище «Срегей» могло закрепиться за человеком, который выделялся именем, а потом перешло к детям как фамилия.

Сравните с однокоренными: Серегюк, Сергейчук, Сергеенко. Срегеюк — самый редкий вариант, сохранивший живую диалектную черту. Если вы носите эту фамилию, ваши предки почти наверняка жили в зоне украинско-белорусского пограничья, где имя Сергей звучало по-своему.