Фамилия Срегур — один из тех редких случаев, когда носитель фамилии, скорее всего, не русский по происхождению, а его предки попали в русскоязычную среду извне. В русском языке нет корня «срег-» или «срегур-», и слово не складывается по привычным моделям с суффиксами -ов, -ин или -ский. Это сразу указывает на заимствование.

Самая вероятная версия — фамилия имеет тюркские корни. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) основа «срег» или «срегур» может быть искажением слова, связанного с военным или административным званием. Например, от «сардар» (военачальник) или «саргур» (буквально «главный пояс», то есть приближенный правителя). При переходе в русскую речь звуки могли измениться: «сар» перешло в «сре», а «гур» осталось. Другая гипотеза — от тюркского «сырык» (шест, кол) с добавлением аффикса, но это менее убедительно, так как «сырык» дало бы фамилию Сырыков, а не Срегур.

Есть и более экзотическая версия — фамилия могла быть искусственно создана в советское время при смене документов. Например, кто-то из носителей кавказских или азиатских языков, чья фамилия звучала сложно для русского уха, получил паспорт с записью «Срегур» по созвучию с исходным именем или прозвищем. В таком случае восстановить точное значение исходного слова почти невозможно.

Географически носители фамилии Срегур встречаются крайне редко, в основном в Поволжье (Татарстан, Башкортостан) и на Северном Кавказе. Если ваши предки оттуда, то наиболее вероятно, что они были из тюркоязычных народов, возможно, служили в коннице или при местных правителях. Фамилия не даёт сословной привязки — она могла быть у знатного воина и у простого крестьянина, получившего прозвище от односельчан.

Итог: Срегур — нерусская по происхождению фамилия, скорее всего, тюркская, означавшая нечто вроде «военачальник» или «приближённый», но не исключено и случайное искажение при записи.