Фамилия Стааб — одна из тех, что почти не встречается в русском контексте и с большой вероятностью имеет западноевропейские корни. Чтобы разобраться в её происхождении, нужно отталкиваться не от славянской модели образования, а от языков, где сочетание согласных «ст» в начале слова — обычное дело.

Самая прямая версия ведёт к немецкому языку. Слово Stab (произносится «штаб») в переводе означает «палка», «жезл», «посох». В средние века это было не просто название предмета, а прозвище, которое могли дать человеку, носившему посох как символ власти (например, судье или старшине), либо ремесленнику, который такие посохи изготавливал. В некоторых диалектах Stab могло обозначать и меру длины, что тоже могло стать основой для прозвища. Фамилия Стааб — это, скорее всего, русифицированная запись немецкой фамилии Staab или Stab. В немецком языке удвоенная «а» часто указывает на долготу гласного, а конечная «б» в русском произношении оглушается, что и дало форму «Стааб».

Вторая, менее вероятная, но всё же возможная версия — эстонское происхождение. В эстонском есть слово staap, заимствованное из немецкого и означающее «штаб» (военный). Фамилия могла появиться у эстонцев, служивших в административных или военных структурах, и также была адаптирована русским письмом. Однако в Эстонии фамилия Staab встречается реже, чем в Германии, поэтому немецкий вектор выглядит убедительнее.

С точки зрения морфологии, фамилия Стааб не имеет русского суффикса (-ов, -ин, -ский), что сразу выдает её иноязычное происхождение. Она сохранила исходную основу без изменений, что характерно для поздних переселенцев или для случаев, когда фамилия фиксировалась в документах на языке оригинала. В России такие фамилии можно встретить среди потомков немецких колонистов, приглашённых Екатериной II в Поволжье, или среди прибалтийских немцев.

Если ваши предки носили фамилию Стааб, стоит искать их корни в немецких землях (особенно в Баварии или Баден-Вюртемберге, где фамилия Staab распространена) или среди остзейского дворянства и бюргерства. В любом случае, основа фамилии — не имя и не отчество, а конкретная профессиональная или статусная характеристика человека, связанная с палкой, жезлом или посохом как инструментом или символом.