Фамилия Стаскойть звучит нехарактерно для русского уха — и это верный признак того, что её корни лежат за пределами восточнославянской ономастики. Скорее всего, перед нами фамилия балтийского происхождения, а точнее — литовская или латышская. В пользу этой версии говорит финаль «-ойть»: в литовском языке распространены фамилии на -aitis (женский вариант -aitė), которые при русификации или записи в русских документах XIX века часто теряли окончание и приобретали форму на «-ойть». Примерно так же появились фамилии Станкявичюс → Станкевич, но в случае с «Стаскойть» адаптация пошла по другому пути — с сохранением «жёсткого» звучания.

Основа фамилии — Stask- — восходит либо к личному имени Стасис (Stasys, сокращение от Станисловас — аналог славянского Станислав), либо к глаголу stoti (становиться, вставать) или stasyti (ставить, устанавливать). В первом случае фамилия означает «сын (или потомок) Стасиса», во втором — могла закрепиться за человеком, который занимался установкой чего-либо (например, столбов, вех или строений). Однако более вероятно, что в основе лежит именно крестильное имя: фамилии от уменьшительных форм имён — самый массовый пласт в балтийской антропонимии.

В русских метрических книгах и ревизских сказках XIX века фамилия Стаскойть могла фиксироваться с искажениями: Стаскойт, Стаскойте, а иногда и как Стаскойтис. Это типичная история для фамилий литовцев и латышей, живших на территории Западного края Российской империи (современные Литва, Латвия, запад Беларуси). Носители фамилии — скорее всего, крестьяне или мещане, потому что балтийская знать в основном носила фамилии на -ский (Домбровский, Островский), а простые люди получали прозвищные или патронимические фамилии на -айтис/-ойть.

С точки зрения словообразования, фамилия Стаскойть уникальна для русского контекста: суффикс -ойть не встречается в исконно русских фамилиях, а её основа не имеет славянских параллелей. Если вы встретили эту фамилию в современной России, её носители, скорее всего, потомки переселенцев из Прибалтики времён Российской империи или советских репатриантов.