Фамилия Странковская — женская форма фамилии Странковский, а та, в свою очередь, принадлежит к пласту так называемых «географических» фамилий. Такие фамилии получали дети по названию местности, откуда был родом их отец или где он владел землёй. Основа здесь — топоним Странково, Странков или похожий. Если вы ищете корень, то ищите его не в слове «странный» (в современном смысле «необычный»), а в более старых значениях.

Слово «странный» в древнерусском языке означало «пришлый», «чужеземный», «странствующий». Отсюда и «странник» — человек, идущий по земле, не имеющий постоянного дома. Соответственно, селение Странково могло получить название потому, что его основали или в нём жили «странные» люди — то есть пришельцы, переселенцы из других земель. Это не прозвище в насмешку, а указание на происхождение жителей.

Фамилия образована по типичной для шляхетских (дворянских) фамилий Речи Посполитой модели: основа на -ов-/-ев- + суффикс -ск-. Окончание -ая в женском роде — русская адаптация. Такая форма указывает, что родоначальник, скорее всего, был мелким шляхтичем или казаком, владевшим хутором или деревней Странково. В XIX веке подобные фамилии активно закреплялись за духовенством (семинаристы часто получали фамилии по названиям сёл, откуда пришли), а также за крестьянами после отмены крепостного права.

Географически фамилия тяготеет к западнорусским землям: современная Беларусь, западные области России (Смоленщина, Псковщина) и Украина. Встречается она нечасто, что говорит о локальном происхождении — скорее всего, от одного конкретного села Странково, которое могло исчезнуть или сменить название. Поиск по карте XVIII–XIX веков может дать точный ответ: где было это место, там и корни рода Странковских.