Фамилия Страйгородская — редкий случай, когда географическая основа не очевидна, а написание вызывает вопросы. Скорее всего, перед нами вариант фамилии Стройгородская, где первая гласная «а» появилась из-за акающего произношения (в говорах, где «о» без ударения звучит как «а»). Если это так, то фамилия образована от названия населённого пункта — Стройгород или Стройгородок. Такие топонимы могли возникнуть в эпоху активного градостроительства или военных поселений: «строй» в значении «строение, возведение». Владелец такой фамилии, скорее всего, происходил из семьи, жившей в этом месте, или получил фамилию по прозвищу «Стройгород» — так могли назвать человека, руководившего строительством или жившего на новой, отстроенной улице.

Формант -ск-ий указывает на дворянское или шляхетское происхождение: фамилии на -ский/-цкий в XVI–XVII веках чаще всего получали помещики, владевшие имением с соответствующим названием. Однако в XIX веке такие фамилии могли давать и семинаристам (по названию села, откуда родом) или просто крестьянам, переселившимся из деревни с похожим именем. В любом случае, Страйгородская — фамилия территориальная, а не прозвищная.

Второй вариант, менее вероятный, — связь с личным именем или прозвищем «Страй» (возможно, искажённое «Страх» или «Страшный»). Но тогда фамилия звучала бы как Страйгородов или Страйгор, а суффикс -ск-ий здесь неуместен. Поэтому версия с топонимом — основная.

Написание через «а» в первом слоге — это особенность, которая закрепилась в документах. Такие орфографические «ошибки» нередко становились нормой для конкретной семьи, особенно если фамилию записывали со слов малограмотного чиновника. Сегодня носительницы фамилии могут встретить однокоренные варианты Стройгородский, Строигородский или даже Стройгородец — все они восходят к одному корню, но разошлись по разным ветвям рода.