Фамилия Сянкуте — редкий случай для русской ономастики: она женского рода и имеет литовское происхождение. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий, которые образуются через суффиксы -ов, -ин или -ский, Сянкуте сохраняет литовский суффикс -уте (-utė). В литовском языке этот суффикс указывает на незамужнюю женщину или девушку, дочь. То есть Сянкуте буквально значит «дочь Сянкуса» или «девушка из рода Сянкусов». Мужской вариант этой фамилии звучал бы как Сянкус.

Основа фамилии — прозвище или личное имя Сянкус. В литовском языке слово «sėnkis» или диалектное «siankus» могло означать «старый», «древний», но также и «хитрый», «опытный». Возможно, прозвище давали человеку с соответствующей внешностью или характером. Встречается и версия, что корень связан с «sėniai» — предки, старцы. Таким образом, Сянкуте — это «дочь старого (или опытного) человека».

Географически фамилия тяготеет к западным регионам России, граничащим с Литвой, особенно к Калининградской области. Встречается она и в Литве, а в России могла появиться в результате переселений или браков. Из-за суффикса -уте фамилия не склоняется по падежам в русском языке, что сразу выдает её балтское происхождение.

Среди русских фамилий аналогов по модели образования почти нет, зато много похожих литовских: Буткуте, Паулаускуте. Если ваш предок был Сянкуте, скорее всего, он — потомок литовского рода, а фамилия закрепилась за женщиной, которая вышла замуж и передала её детям, либо за девушкой, чей отец носил прозвище Сянкус.