Фамилия Сынычко — один из тех случаев, когда модель образования интереснее, чем корень. Это типичная украинская фамилия, созданная по продуктивной модели с уменьшительно-ласкательным суффиксом -к- и патронимическим окончанием -о (в украинской ономастике суффикс -енк- часто редуцируется до -к- в сочетании с основой, но здесь мы видим прямой суффикс -ычк-). Полное словообразовательное гнездо выглядит так: основа «сын» → суффикс -ыч- (как в русском «сынище» или украинском «синичок») → суффикс -к- → окончание -о. Буквально Сынычко — это «маленький сын», «сынок», «сыночек».

Однако не стоит путать эту фамилию с чисто русскими фамилиями на -ыч (вроде Кузьмич, Ильич). В украинской традиции суффикс -ыч (а точнее -ич) в фамилиях — явление редкое и чаще всего указывает не на отчество, а на прозвище или уменьшительную форму. Скорее всего, Сынычко — это не «сын того, кого звали Сын» (такого имени в святцах нет), а ласкательное прозвище младшего ребенка в семье, младшего брата или просто мальчика, которого так называли за его юный возраст или зависимое положение.

Географически фамилия Сынычко почти наверняка привязана к западноукраинским или белорусским землям, где модель -ычко (чередование ы/и) встречается чаще, чем в центральной Украине. В русских переписных книгах XVII века такая фамилия не фиксируется — она бы звучала как «Сынычков» или «Сынычкин», если бы попала в великорусскую среду. Сохранившееся окончание -о — верный признак того, что носители долго жили в зоне украинского или белорусского языкового влияния.

Версия о происхождении от прозвища «Сынычко» как «сыночек», «баловень» — самая правдоподобная. Альтернативная гипотеза, что это форма от имени «Синичко» (от «синица»), маловероятна: в украинском языке «синиця» дает «Синичко» или «Синиця», а не «Сынычко». Разница в первой гласной принципиальна. Так что ваш предок, скорее всего, был не птицеловом, а просто младшим или любимым сыном в семье, и это прозвище закрепилось за ним и его потомками.