Фамилия Тарнайкина — женская форма, мужской вариант — Тарнайкин. Она образована по простой и распространённой модели: к основе добавили суффикс -ин, который в русских фамилиях указывает на принадлежность («чей?» — сын или дочь Тарнайки). Значит, ядро фамилии — прозвище или неканоническое имя Тарнайка.

С этим корнем сложнее. В русской ономастике нет устоявшейся версии, но можно выделить два правдоподобных пути. Первый: основа «тарнай» может быть связана с диалектным словом «тарна» — так в некоторых говорах называли болотистое, топкое место, заросшее кустарником. Тогда Тарнайка — человек, живший у такого болота или на такой почве. Второй вариант: это тюркское влияние. В татарском и башкирском языках есть корень «тарна» со значением «царапать», «скрести», а также имя Тарнай, которое могло означать «упорный», «цепкий». В Поволжье и Приуралье, где русские и тюркские народы веками жили рядом, такие заимствования в прозвищах — обычное дело.

Суффикс -ка в основе Тарнайка — уменьшительно-уничижительный или просто обиходный (как в фамилиях Козайка, Шувайка). Это говорит о том, что фамилия возникла в крестьянской или мещанской среде, где прозвища были короткими и бытовыми. Географически фамилия редкая, встречается в основном в центральной России и в Поволжье, что подтверждает версию о тюркском или диалектном происхождении.

Самое интересное — написание. Вариант Тарнайкина (а не, скажем, Тарнайкина через «о») указывает на то, что ударение в основе падает на второй слог: Тарнáйка. Это необычно для русских фамилий, где ударение часто переходит на суффикс. Возможно, в говоре предков слово произносили с чётким «а» под ударением, что сохранилось в фамилии как маркер местного произношения.