Фамилия Тайбичаков — редкая и сложная для этимологии. Её основа, скорее всего, не славянская, а тюркская, что сразу указывает на регион происхождения: Поволжье, Урал или Сибирь, где исторически жили тюркоязычные народы (татары, башкиры, чуваши, казахи). Разберём её по частям.

Корень «Тайбичак» явно состоит из двух элементов. Первый — «Тай» (или «Тайы») в тюркских языках часто означает «жеребёнок» (ср. татарское «тай» — жеребёнок, «тайлак» — стригунок). Второй — «Бичак» (или «Бичек») — может восходить к слову «бич» (нож, резак) либо к глаголу «бич-» (резать, кроить). Таким образом, «Тайбичак» могло быть прозвищем человека, который резал жеребят (возможно, занимался кастрацией коней) или, в переносном смысле — «режущий жеребят», то есть скорый на расправу, резкий. Есть и другая версия: «Тай» — это сокращённое от «Таймас» (не устающий, крепкий) или «Тайбуга» (бык-производитель), а «Бичак» — нож. Тогда прозвище означало бы человека с «крепким ножом», мастера-оружейника.

Суффикс «-ов» указывает на русскую модель образования фамилии: так фиксировали принадлежность к роду. Получается: «Тайбичаков» — потомок Тайбичака. Фамилия могла возникнуть при переписях населения, когда русские писцы записывали тюркские прозвища на русский лад. Скорее всего, носители фамилии — крещёные татары или мишари (татары-мусульмане, позднее принявшие православие), либо башкиры. Встречается она в основном в Татарстане, Башкортостане и Оренбургской области, но точная география узкая — фамилия нечастотная.

В отличие от более распространённых тюркских фамилий на «-ов» (Таймасов, Тайбулатов), у Тайбичакова необычная основа с двумя корнями. Это говорит о том, что прозвище было конкретным и, вероятно, связано с ремеслом или характером человека, а не с отцовским именем. Сословно предки могли быть государственными или ясачными крестьянами, реже — служилыми татарами, нёсшими сторожевую службу на границах. Однозначной версии о значении нет, но «конный ремесленник» или «острый на язык/дело» — самые правдоподобные.