Фамилия Таймышева — женская форма от Таймышев. В основе лежит тюркское мужское имя Таймыш, и, скорее всего, фамилия указывает на происхождение от человека с этим именем. Разберём, что за имя и откуда оно взялось.

Слово «Таймыш» восходит к тюркскому корню «тай» — жеребёнок. В кочевых культурах имена, связанные с конём и скотом, были обычным делом: они символизировали богатство, силу, быстроту. Уменьшительно-ласкательный суффикс «-мыш» (встречается в башкирском, татарском, казахском языках) придаёт имени значение «жеребёночек» или «похожий на жеребёнка». Имя Таймыш фиксируется у башкир и татар, и носитель такой фамилии, скорее всего, имеет корни в Поволжье или на Южном Урале.

Фамилия образована по стандартной русской патронимической модели: к основе Таймыш прибавили суффикс принадлежности -ев (в женском роде -ева). Изначально Таймышев — «сын Таймыша». Значит, предок носителя фамилии носил это имя, а не прозвище. Важно, что фамилия не связана с полуостровом Таймыр — это случайное звуковое совпадение. Топоним Таймыр, по одной из версий, происходит от эвенкийского «тамура» (ценный, дорогой), что к тюркскому «жеребёнку» отношения не имеет.

Фамилия редкая. Встречается в Татарстане, Башкортостане, а также в Оренбургской и Челябинской областях — в зоне расселения татар и башкир. Вариант Таймышев (и Таймышева) мог писаться и с буквой «ы» после «м», что отражает произношение в тюркских языках, где звук «ы» более твёрдый, чем русское «и». Встречается также написание Таймишев, но это, скорее, результат упрощения на письме.

Если коротко: фамилия Таймышева — это отчество от имени Таймыш, которое в переводе с тюркского означает «жеребёночек». Предки — тюркоязычные народы Поволжья или Урала, скорее всего татары или башкиры.