Фамилия Теиряк — редкая и неочевидная. На первый взгляд она звучит как иноязычная, и это первая версия, которую стоит проверить. В русском языке нет корня «теир-» в исконной лексике, поэтому, скорее всего, фамилия не великорусская, а пришла из тюркских или финно-угорских языков.

Если исходить из тюркской версии, то основу можно связать со словом «тейир» или «теир» — в ряде тюркских наречий (например, в башкирском, татарском) «тейир» означает «метить», «попадать в цель», а также «трогать», «касаться». Отсюда могло возникнуть прозвище для меткого стрелка или человека, который «задевает» словом. В таком случае фамилия образована по модели, распространённой у тюркских народов: к основе добавлялся компонент, который в русской записи передавался как «-як». В некоторых диалектах суффикс «-як» имеет уменьшительно-ласкательный или принадлежностный оттенок (сравните с татарскими фамилиями на «-яков»). Тогда Теиряк — это «сын или потомок Теира» (человека с прозвищем Теир).

Другая, менее вероятная версия — финно-угорская. В коми-зырянском языке есть слово «тӧй» (ум, разум) и «тӧйысь» (умный). При адаптации в русской среде «тӧйысь» могло трансформироваться в «Теирь» или «Теир», а затем получить типичный для северных фамилий суффикс «-як». Но это чисто гипотетическое построение, так как письменных свидетельств такой эволюции для фамилии Теиряк пока не обнаружено.

Географически фамилия встречается единично, в основном в республиках Поволжья (Татарстан, Башкортостан) и среди татарской диаспоры. Это подтверждает тюркскую версию. Сословно носители фамилии, вероятно, относились к государственным или ясачным крестьянам, либо к служилым татарам, которые получали фамилии по прозвищам в XVII–XIX веках.

Таким образом, самое правдоподобное объяснение: фамилия Теиряк — тюркская, образована от прозвища Теир («меткий», «задевающий») с помощью суффикса «-як», указывающего на родство или принадлежность. Это фамилия-прозвище, а не фамилия-отчество от крестильного имени.