Фамилия Тихобаева — женская форма мужской фамилии Тихобаев. Её основа — прозвище или нецерковное имя Тихобай. Разбираем слово по составу: первая часть «тихо-» отсылает к прилагательному «тихий» (спокойный, медлительный, смирный), вторая — «-бай» — тюркский компонент, который в русских говорах и фамилиях встречается нечасто, но устойчиво. В тюркских языках «бай» означает «богатый», «господин», «хозяин» или просто уважительное обращение. На стыке двух языковых стихий и родилось это имя-прозвище.

Скорее всего, Тихобаем нарекли человека с двойной характеристикой: с одной стороны, спокойного и неконфликтного («тихий»), с другой — состоятельного или уважаемого («бай»). В русской ономастике такие гибридные формы — русская основа плюс тюркский суффикс или корень — типичны для регионов активного культурного пограничья: Поволжья, Урала, южнорусских степей. В словарях фамилий подобные модели разбирают редко, но логика образования здесь прозрачна: прозвище закрепилось за главой семьи, а потомки получили фамилию по отцу — Тихобаевы.

Суффикс «-ев» указывает на принадлежность: «чей?» — Тихобаев, то есть сын или потомок Тихобая. Это стандартная русская патронимическая модель, самая массовая в стране. Никакой редкой морфологии тут нет, интереснее именно основа — она выдаёт смешанное русско-тюркское происхождение, что может говорить о предках, живших в зоне контакта культур: возможно, это были казаки, крестьяне или торговые люди из приграничных губерний.

Встречаемость фамилии невысокая. По открытым данным, Тихобаевы живут в основном в центральной России и в Поволжье, но точной географической привязки к одному селу или уезду нет. Альтернативная версия, что «тихо-» могло быть не прилагательным, а частью глагола «тихобаить» (говорить тихо, шептаться), маловероятна: такой глагол не фиксируется в диалектных словарях как основа для прозвища. Так что версия с «тихим баем» — самая рабочая.