Фамилия Трегис почти наверняка — фонетический вариант фамилии Трейгис, которая встречается в записях чаще. Разница в одну букву могла появиться из-за особенностей произношения или при записи фамилии чиновниками: дифтонг «ей» в безударной позиции легко редуцировался до простого «е». Поэтому, разбирая происхождение, корректнее говорить о едином корне.

Самая правдоподобная версия связывает основу с литовским нарицательным treigys — «трехгодовалая лошадь». В таком случае прозвище Трейгис относилось к «профессиональным» именованиям: так могли прозвать человека, который растил или объезжал молодых лошадей. Фамилии, образованные от названий занятий, у балтских народов встречаются часто, и для Литвы и прилегающих земель такая модель естественна. Менее убедительна, хотя и возможна, связь с литовским глаголом treikėti — «сильно греметь, грохотать». Тогда прозвище получил бы человек, чья работа сопровождалась шумом: кузнец, работающий с молотом, или лесоруб, валящий деревья. Однако у этой версии меньше опоры: звукоподражательные прозвища реже становились фамилиями, чем названия по роду деятельности.

Словообразовательная модель простая: литовская основа без суффикса, что типично для фамилий балтийского происхождения, которые часто сохраняли исходную форму прозвища. Русская адаптация добавила окончание, но не изменила корень. Если ваш предок носил фамилию Трегис, он, скорее всего, происходил из балтоязычной среды — с территорий современной Литвы, Латгалии или бывших литовских земель, где фамилии такого типа фиксировались с XVI–XVII веков. В России эта фамилия редкая, что тоже говорит о её нерусском, локальном происхождении.