Фамилия Трейкаускас — литовская, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса, потому что именно он выдает происхождение носителя. Окончание -ас — типичный признак мужской фамилии в литовском языке (в женском варианте было бы Трейкаускене или Трейкаускайте). В русской среде такие фамилии обычно не склоняются, хотя по литовским правилам склоняются как существительные мужского рода.

Основа фамилии — Трейкаус. Это сложное слово, которое восходит к двум литовским корням: trej- (связано с числом «три», treji — «трое») и kaus- (от kaušas — «ковш», «черпак»). Буквально прозвище Трейкаускас могло означать «тот, у кого три ковша» или «тройной ковш». Вряд ли речь шла о буквальной посуде: скорее, так в народе могли назвать человека, который работал с тремя черпаками одновременно (например, на пивоварне или при разливе меда), либо обладателя какой-то особенности — скажем, тройного подбородка или привычки трижды зачерпывать перед тем, как выпить.

В литовской ономастике суффикс -auskas (вариант -auskis) часто образовывал фамилии от прозвищ, связанных с действием или предметом. Похожие модели — Бальчяускас (от baltas — «белый»), Григаускас (от личного имени Григас). Трейкаускас стоит в том же ряду, но с более редкой основой. В словаре литовских фамилий (например, у К. Кузавиниса) такие формы фиксируются как типичные для жемайтского диалекта — северо-западной части Литвы. Значит, предки носителя фамилии, скорее всего, жили в Жемайтии или на границе с Пруссией.

В XIX веке, после отмены крепостного права в Российской империи, многие литовцы получили фамилии именно в такой форме — от местных прозвищ или занятий. Трейкаускасы не были дворянами: суффикс не указывает на шляхетское происхождение (у знати чаще встречались окончания -ич или -ский). Это фамилия крестьянская или ремесленная, закрепленная за одним родом.

В современной Литве фамилия встречается, но не входит в число самых распространенных. В России и Беларуси она редка, обычно у потомков литовцев, переселившихся в XIX–XX веках. Если ваш предок — Трейкаускас, он почти наверняка был литовцем-католиком, возможно, из деревни под Шяуляем или Тельшяем, и его прозвище когда-то звучало как шутка или насмешка над какой-то его чертой.