Фамилия Триваженков — редкий пример того, как в основе фамилии лежит не имя, не ремесло, а, скорее всего, прозвище, построенное на отрицании. Разберём её по составу. Корень здесь — «важн» (от слова «важный»), а приставка «три-» и суффикс «-енков» указывают на модель образования, которая встречается нечасто.

Самая правдоподобная версия: исходное прозвище — «Триважный». В русских говорах так могли называть человека, который трижды (то есть очень) важен, то есть чрезмерно гордого, надменного или, наоборот, того, кого постоянно величают по имени-отчеству с особым почтением. Суффикс «-енков» — это вариант патронимического суффикса «-ов» в южнорусских и украинских говорах (ср. Иванов — Иваненков). То есть Триваженков — буквально «сын Триважного».

Есть и альтернативное объяснение, но оно менее убедительно. Корень «важн» мог относиться к слову «вага» (вес, тяжесть) в значении «важкий» — то есть тяжёлый, грузный. Тогда «Триважный» — человек с тройным весом, очень грузный. Однако в этом случае фамилия скорее звучала бы как Триважков или Тривагин, а сохранение полной формы «Триважный» указывает на прозвище, образованное от прилагательного, а не от существительного.

Географически фамилия тяготеет к югу России и востоку Украины — регионам, где суффикс «-енков» был распространён. В дореволюционных переписях она почти не встречается, что говорит о её локальном бытовании и, вероятно, недворянском происхождении. Носители скорее всего были крестьянами или мещанами, а прозвище дали за характер или манеру держаться — с подчёркнутой важностью, возможно даже с иронией со стороны окружающих.

Интересная деталь: фамилия Триваженков стоит в одном ряду с такими редкими образованиями, как Тригубов, Тришкин, Троепольский, где числительное «три» выступает усилителем качества, а не счётным словом. Это делает её не просто исторической, но и языковой редкостью.