Фамилия Троицский — это редкий орфографический вариант фамилии, которая обычно пишется как Троицкий. Двойная буква «с» в суффиксе («-ск-» превращается в «-сск-») — результат либо старой орфографической нормы, либо ошибки писаря при записи фамилии в метрических книгах. В XIX — начале XX века написание фамилий не было строго унифицировано, и двойные согласные в суффиксах встречались, хотя и нечасто. Поэтому по происхождению и значению фамилия Троицский полностью совпадает с фамилией Троицкий.

Основа фамилии — слово «Троица», то есть христианский догмат о триединстве Бога. Фамилия образована по типичной модели для семинарских (искусственных) фамилий: от названия церковного праздника или храма с помощью суффикса «-ск-». Такие фамилии в массе своей давали воспитанникам духовных училищ и семинарий в XVIII–XIX веках. Священник, служивший в храме, освящённом в честь Святой Троицы, или его сын, поступавший в семинарию, получал фамилию Троицкий. Это была одна из самых распространённых семинарских фамилий в России, наряду с Рождественским, Успенским, Вознесенским.

С точки зрения географии, фамилия Троицкая (в женском роде) и Троицкий (в мужском) встречается повсеместно там, где были православные храмы с таким посвящением. Однако вариант с двойной «с» — Троицский — крайне редок. Если вы встретили такую запись в документах, это почти наверняка указывает на конкретную канцелярию или писаря, который вёл запись, а не на особое значение фамилии. В сословном отношении предки носителя этой фамилии, скорее всего, принадлежали к духовному сословию, реже — к мещанскому или купеческому, если фамилия была получена не в семинарии, а по названию улицы или слободы (например, Троицкая слобода).

Итог простой: Троицский — это та же Троицкий, но с опечаткой или устаревшим написанием. Значение — «относящийся к Святой Троице», а происхождение — из среды русского православного духовенства.