Фамилия Цечщев — редкий случай в русской ономастике, где написание расходится с произношением и звучит как Це́чщев. Она образована по стандартной патронимической модели с суффиксом -ев, который присоединяли к основам на -ц, -ч, -щ (ср. Ловчев, Поповцев). Основа здесь — Цечщ-, что сразу указывает на искажение или диалектную запись исходного прозвища.

Скорее всего, в основе лежит слово «цеч» или «цечь» — диалектный вариант глагола «течь» или существительного «течь» (протечка, поток). В северных и сибирских говорах «цечь» могло означать «жидкая грязь», «слякоть», «топкое место». Прозвище Цечща дали человеку, жившему у болота, в сырой низине, либо неряхе, который «течет» — пачкается. Фонетически переход т > ц (цоканье) характерен для новгородских и псковских земель, где «течь» произносили как «цечь», а «Тетерев» — как «Цецерев». Таким образом, Цечщев — это «сын Цечщи», то есть человека, получившего прозвище по месту жительства или неопрятности.

Второй вариант, менее вероятный, — связь с тюркским «чеч» (волосы) или кавказским «цеч» (кремень, крепкий). Но суффикс -ев и цоканье указывают на русскую, скорее всего северо-западную, основу. Фамилия почти не встречается в современных справочниках — она либо угасла, либо сильно видоизменилась. Похожие по модели фамилии — Цечоев (осетинская, от имени Цечо) и Цечушкин — но они образованы от других корней.

Если ваши предки носили фамилию Цечщев, стоит искать их в архивных записях Псковской, Новгородской или Вологодской губерний — именно там цокающие говоры могли породить такое написание. Фамилия недворянская, скорее крестьянская или мещанская, и её редкость говорит о том, что род был немногочисленным или жил в глухой местности, где письменные фиксации единичны.