Фамилия Цензор в большинстве случаев — это «говорящее» прозвище, а не след древнеримской родословной. Прямого ответа на вопрос, кем был предок, у нас нет: в России так могли назвать и чиновника, следившего за печатью, и человека, который любил всех поучать и оценивать. Само слово пришло из латыни: цензором в Древнем Риме называли должностное лицо, которое руководило оценкой имущества граждан, следило за поступлением налогов и общественной нравственностью. В Российской империи цензура появилась в начале XIX века, и цензорами стали называть чиновников, которые проверяли печатные произведения перед выходом в свет. Отсюда и пошло двойное значение прозвища.

Словообразовательная модель простая: прозвище Цензор перешло в фамилию без изменений, без типичных русских суффиксов -ов, -ин или -ский. Это редкий для русских фамилий случай, когда основой стала чистая нарицательная лексема, а не имя или ремесло. Такие фамилии часто давали в среде духовенства и семинаристов: им нередко присваивали «благозвучные» фамилии по церковным праздникам, латинским словам или отвлечённым понятиям. Но версия о происхождении от реальной должности не менее правдоподобна: если предок действительно служил цензором или работал в типографии, прозвище могло закрепиться за ним в быту и перейти к детям.

Есть и более прозаичный вариант: в народе цензором могли иронично назвать строгого критика, блюстителя нравов или просто придирчивого человека. В этом случае фамилия не связана с чиновничьей службой, а отражает характер или манеру поведения. Какая версия вернее для конкретной семьи — сказать сложно, но обе имеют право на существование. В письменных источниках фамилия встречается редко, что говорит о её относительно позднем закреплении и небольшой распространённости, в отличие от массовых фамилий от имён или профессий.