Фамилия Цимейко — яркий пример того, как украинская модель образования фамилий закрепилась на русской почве. Её основа — уменьшительная форма крестильного имени Цима, которое, в свою очередь, является народным вариантом имени Тихон (от греческого «судьба» или «случай»). В украинском языке звук «т» перед «и» смягчался до «ц», так Тихон превращался в Цихон, а в бытовой речи — в Цима. Суффикс -ейко (-ейк-о) — типичный для украинских фамилий Западной и Правобережной Украины, особенно Волыни и Подолья. Он выполнял ту же роль, что русский -ов/-ев: указывал на принадлежность, буквально «сын Цимы» или «маленький Цима». Таким образом, Цимейко — это «потомок Тихона» в украинском звучании.

Встречается и другая, менее вероятная, версия происхождения — от тюркского корня. В тюркских языках есть слово «цим» (или «чим») — «дерн», «трава». Тогда прозвище Цима мог получить человек, живший у степи или занимавшийся заготовкой сена. Но эта гипотеза слабая: суффикс -ейко прочно привязывает фамилию к украинской антропонимической традиции, а не к тюркской.

Географически фамилия Цимейко встречается в основном на западе Украины — в Тернопольской, Хмельницкой, Ровенской областях, а также в прилегающих районах Беларуси. В России она редка и чаще всего фиксируется в южных регионах, куда переселялись украинцы в XIX веке. Сословного барьера у фамилии не было: её носили и крестьяне, и казаки, и мещане — в украинских сёлах фамилии на -ейко были массовыми.

Интересная деталь: в польских метриках XVIII века эта фамилия могла записываться как Cimejko или Cymejko, с буквой «y» вместо «и» — это отражало местное произношение. В русских же документах после присоединения Правобережной Украины написание закрепилось через «и», что и дало современный вариант Цимейко. Так что если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, происходили из украинских земель, а их далёкий пращур носил имя Тихон.