Фамилия Цулейскири — редкий случай, когда географическая привязка очевиднее этимологии. Она почти наверняка происходит из грузинского или, шире, кавказского региона. Об этом говорит характерный суффикс «-ири», который в грузинских фамилиях (особенно в западной Грузии — Мегрелии, Гурии) часто указывает на принадлежность к роду или местности. Сравните: Дадиани, Чхеидзе, Гуриели — модель образования схожая, хотя суффикс «-ири» встречается реже, чем «-дзе» или «-швили».

Основа «Цулейск-» не имеет очевидного и прямого перевода с грузинского языка. Скорее всего, это топонимический корень: фамилию дали по названию села, хутора или урочища Цулейска (или Цулеска). В Грузии есть несколько мелких селений с похожими названиями, например, Цулукидзе, но точного совпадения «Цулейскири» в современных справочниках не зафиксировано. Это может говорить о том, что село либо исчезло, либо название сильно исказилось при записи в метрических книгах.

Другой, менее вероятный вариант — связь с осетинским или даже тюркским миром. В осетинском языке есть корень «цул»/«цыл» — «маленький», а суффикс «-ири» мог быть привнесён из грузинского. Но эта гипотеза слабая: для осетинских фамилий типичны суффиксы «-ты»/«-ти», а не «-ири».

Сам формант «-ири» в грузинской ономастике указывает на древность рода. Такие фамилии часто носили княжеские или дворянские семьи (азнауры), но необязательно — это могла быть и фамилия свободного крестьянина из горного района. Сословный статус предков Цулейскири без документальных источников установить невозможно, но модель образования говорит о том, что фамилия сформировалась не в крепостной среде центральной Грузии, а в более автономных сообществах Западного Кавказа.

Встречаемость фамилии крайне низкая. В современной России и Грузии носителей единицы. Это типичная «исчезающая» фамилия, которая могла не пережить советских миграций или репрессий. Если вы носитель этой фамилии, высока вероятность, что ваши предки — выходцы из одного конкретного села в горной Сванетии или Мегрелии, название которого и стало родовым.