Фамилия Цуюков — редкая и неочевидная. Чтобы понять её происхождение, придётся разобрать слово по косточкам, потому что на слух она не укладывается в привычные модели русских фамилий.

Первое, что бросается в глаза, — суффикс -ов. Он указывает на стандартную русскую патронимическую модель: «чей?» — «Цуюков», то есть сын или потомок человека по имени или прозвищу Цуюк. Основа фамилии — Цуюк. Вот с ней и главная сложность.

В русском языке нет слова «цуюк» ни в одном из известных диалектных словарей. Это не профессия, не птица, не предмет быта. Скорее всего, перед нами прозвище, образованное от глагола «цукать» или «цюкать». В южнорусских и украинских говорах эти глаголы означают «цокать», «чмокать», «издавать цокающий звук», а также «бить», «стегать» (обычно прутом или кнутом). Соответственно, Цуюк — человек, который цокает (например, при разговоре или при цоканье языком на лошадь), либо тот, кто «цукает» — бьёт, подгоняет. Прозвища по характерному звуку или манере поведения — частый случай в русской антропонимии.

Есть и другая, более экзотическая версия. Фамилия могла возникнуть на стыке культур, например, в среде тюркских народов Поволжья или Северного Кавказа. В тюркских языках корень «цуй» или «чуй» встречается в значениях «шум», «молва», «слух», а также как часть имён (ср. Чуйко). Однако полной аналогии слову «Цуюк» в современных тюркских языках нет, и эта гипотеза слабее — она скорее объясняет звучание, чем реальное бытование.

Географически фамилия Цуюков встречается крайне редко. Основные очаги — юг России (Краснодарский край, Ростовская область) и, возможно, Украина. Это косвенно подтверждает первую версию: именно в южных говорах и украинском языке глагол «цукати» жив до сих пор.

Таким образом, Цуюков — скорее всего, потомок человека с характерным прозвищем Цуюк, которое дали либо за манеру цокать при разговоре, либо за привычку подгонять лошадей цоканьем, либо, реже, за крутой нрав (если исходить из значения «бить»). Фамилия недворянская, крестьянская или казачья, без сложной генеалогии, но с живым прозвищным корнем.