Фамилия Цявко звучит нестандартно для русского уха, и это первый ключ к её происхождению. Она явно не из списка «классических» дворянских фамилий на -ов/-ев, а указывает на украинские или белорусские корни. Характерный суффикс -ко — один из самых распространённых в украинской ономастике, он уменьшительный и часто образовывал фамилии от прозвищ или личных имён (например, Шевченко, Божко, Гришко). Цявко стоит в том же ряду.

Основа фамилии восходит к слову «цявка» или «цявок». В украинских и южнорусских говорах так называли щенка, а в переносном смысле — неопытного, молодого человека или того, кто постоянно скулит, жалуется, «цявкает». Прозвище Цявок мог получить либо ребёнок с писклявым голосом, либо взрослый, который вёл себя суетливо и надоедливо. Не исключён и более конкретный бытовой смысл: так могли прозвать того, кто держал собак или занимался разведением щенков.

Географически фамилия Цявко чаще всего встречается на территории современной Украины (особенно в центральных и восточных областях) и в южных регионах России, куда шла активная миграция украинского крестьянства в XVIII-XIX веках. В старых метрических книгах и ревизских сказках её фиксируют в Черниговской, Полтавской, Харьковской губерниях. В центральной России эта фамилия редка, что подтверждает её локальное происхождение.

С точки зрения словообразования, фамилия образована напрямую от прозвища без дополнительных патронимических суффиксов: Цявко — это и есть исходная форма. В русской традиции при переписях могли «обрусить» её, добавив окончание -ов, но вариант Цявко сохранился как более архаичный и характерный для казачьей и крестьянской среды. Социально предки носителей фамилии — скорее всего, свободные крестьяне или казаки, поскольку прозвищные фамилии на -ко в массе своей недворянские и фиксируют бытовую, неофициальную культуру именования.

Есть и более редкая версия, связывающая основу с диалектным «цявка» — вид птицы (возможно, подражание звуку), но она менее убедительна, так как прозвища от названий животных (особенно детёнышей) в крестьянской среде были типичны, а орнитологическая привязка не находит устойчивого подтверждения в говорах. Таким образом, фамилия Цявко — яркий пример украинской прозвищной фамилии, которая прямо говорит о характере или внешности своего первого носителя.