Фамилия Цывилькова — женская форма, а её мужской вариант Цывильков. На первый взгляд она кажется редкой и даже искусственной, но на самом деле у неё прозрачная и довольно неожиданная основа. Ключ к разгадке — корень «цывиль-», который восходит к слову «цивильный» (от лат. civilis — гражданский, штатский). В русских говорах и просторечии XIX века «цивильным» называли человека в гражданской одежде, не военного, либо вообще штатского чиновника. Прозвище Цывиль (или Цивиль) могли дать тому, кто выделялся среди крестьян или казаков своей «городской» манерой одеваться, носил сюртук вместо армяка, или же служил писарем, а не в солдатах.

Суффикс -ов- в фамилии Цывильков стандартный для русских фамилий, указывающий на принадлежность: «чей?» — сын Цывиля. Буква «ы» в первом слоге (Цы- вместо Ци-) — яркая примета южнорусского или украинского произношения, где после «ц» часто звучит твёрдый «ы». Это не ошибка, а диалектная черта: в документах могли записать фамилию на слух, как слышали местные. Поэтому география фамилии тяготеет к Курской, Воронежской, Ростовской областям, а также к Кубани и бывшим казачьим землям.

В отличие от фамилий от имени (Иванов) или профессии (Кузнецов), Цывилькова — это прозвище по внешнему или социальному признаку. Предок носителя был, скорее всего, не крестьянином-землепашцем, а человеком, связанным с городом или административной службой: мелким чиновником, отставным канцеляристом, приказчиком. Прозвище могло закрепиться иронически — если парень в деревне слишком наряжался «по-господски». Встречается также вариант Цивильков (с «и»), но форма с «ы» встречается реже и потому более показательна для конкретного региона.

Однокоренные фамилии — Цивильский, Цивильский (от названия реки Цивиль в Чувашии), но к Цывилькову они отношения не имеют: речное название тюркского происхождения, а наша фамилия — чисто русское бытовое прозвище. Есть и редкая фамилия Цывиль, от которой форма Цывильков — прямое патронимическое образование. Если в вашем роду сохранилось предание о «штатском» предке, который не служил в армии, — скорее всего, оно верно.