Фамилия Тулявко звучит как типичная украинская или белорусская фамилия, и её разбор подтверждает это впечатление. В основе лежит суффикс -к(о), характерный для западнорусских земель: он превращает прозвище или имя в фамилию, указывая на происхождение по отцу («чей сын?» — Тулявкин, Тулявко). Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Туля́вко.

Корень «Туляв-» — самый интересный и неочевидный. Прямой связи с городом Тулой здесь, скорее всего, нет: суффикс -яв- в таком контексте нестандартен для образования прозвища от названия города (было бы «Туляк», «Туляков»). Правдоподобнее версия, что основа восходит к диалектному глаголу «тулять» или «туляться». В южнорусских и украинских говорах это слово означает «прятать», «укрывать», «засовывать», а в переносном смысле — «жить замкнуто, прятаться от людей». Соответственно, Тулява или Тулявко — прозвище человека скрытного, нелюдимого, либо того, кто жил в глухом месте, «в тулу». Также возможно, что это вариант прозвища от «тулий» (мешок, котомка) — так могли назвать странника или нищего, который носил с собой пожитки.

Встречается фамилия преимущественно на территории современной Украины (особенно в Черниговской и Сумской областях) и в приграничных районах России (Брянская, Курская области). Это указывает на исходный ареал: фамилия сформировалась в среде крестьян или казаков, где прозвища давали по внешним чертам или поведению, а не по роду занятий. Дворянских корней у Тулявко, судя по доступным данным, нет — это фамилия простого сословия, возникшая не ранее XVII–XVIII веков, когда прозвища стали закрепляться как наследственные.

В написании возможны варианты через «е» (Телявко) — это результат аканья или местного произношения, но исходная форма именно с «у». Если ваш предок носил эту фамилию, он, вероятно, происходил из среды оседлых крестьян или реестровых казаков Левобережной Украины, а его прозвище могло означать «укрывающийся» или «живущий в захолустье» — без отрицательного оттенка, скорее как бытовая характеристика.