Фамилия Убоженк — редкий случай, когда написание вводит в заблуждение. Скорее всего, перед нами не полная форма, а усечённый вариант фамилии Убоженко, распространённой на востоке Украины. Если же это исконная форма, то она образована по той же модели, что и фамилии на -енк(о) — украинской уменьшительно-ласкательной, но здесь суффикс потерял конечную гласную, что иногда случалось при адаптации в русской среде или при записи в документах.

Разбираем основу. «Убож-» восходит к корню «убог-» (чередование г/ж). В древнерусском языке «убогий» означало не только «бедный, нищий», но и «убогий телесно» — то есть немощный, слабый, калека. Однако прозвище Убогой (или Убоженко) давали не всегда с негативным оттенком. В народной среде «убогим» могли назвать человека, который сторонился богатства, вёл аскетичный образ жизни, или же того, кого жалели и опекали — отсюда прозвище могло стать обережным, чтобы злые силы не позарились на ребёнка.

Вторая версия, менее вероятная, но не исключённая: «убоженк» может быть искажением от «Обоженк» — от слова «обоженный», то есть опалённый, обгоревший (например, после пожара). Но это лишь гипотеза без серьёзной поддержки в ономастических источниках. Словарь Б. Унбегауна таких фамилий не фиксирует, что говорит о локальном, почти исчезнувшем бытовании.

Географически фамилия Убоженк (и Убоженко) тяготеет к Черниговской и Полтавской областям Украины, а также к южнорусским регионам, куда переселялись украинские крестьяне в XVIII–XIX веках. Носители её, судя по модели, были из крестьян или казачьей бедноты — прозвище указывало на скромный достаток, что для тех мест было скорее констатацией, чем обидным ярлыком.

Если ваша фамилия именно Убоженк, а не Убоженко, то, вероятно, предки жили на стыке украинской и русской культур, где окончание редуцировалось или было записано без «о» при переписи. В любом случае, корень один — от «убогий», но не в современном ругательном смысле, а в старом, бытовом значении «бедный, нуждающийся».