Фамилия Угожаева — женская форма от Угожаев, и её разбор стоит начать не с корня, а с необычного суффикса. Перед нами не стандартное -ов/-ев или -ин, а -аев. Такая модель встречается реже и обычно указывает на тюркское или диалектное влияние: основа на гласный или мягкий согласный получала наращение -аев вместо привычного -ев. В русской ономастике фамилии на -аев чаще всего выводят из прозвищ или имён, заимствованных из тюркских языков, где корень оканчивался на -ай или -а.

Самая вероятная основа — прозвище Угожай. В русских говорах слово «угожать» означало «угождать, услуживать, стараться сделать приятное». Соответственно, Угожаем могли назвать человека покладистого, услужливого, того, кто ладил с людьми и старался всем потрафить. Прозвище могло быть и ироничным — для человека, который угождал начальству или был слишком мягкотелым. Фамилии от подобных «характерных» прозвищ — одни из самых древних: их давали не по профессии, а по личной черте, заметной окружающим.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с географическим названием. В России есть несколько мелких речек и урочищ с корнем Угож-, но они редки и локальны, поэтому маловероятно, что фамилия пошла от них массово. Также не стоит путать Угожаева с фамилией Угаров (от «угар») или Углов — это разные корни.

Суффикс -аев в фамилии Угожаев указывает, что её носители — скорее всего, выходцы из южнорусских или поволжских регионов, где были сильны тюркские языковые контакты. Встречаемость фамилии низкая, она не входит в списки распространённых русских фамилий, что говорит о её локальном происхождении — возможно, от одного прозвища в конкретной деревне или семье.

Таким образом, предки носителя фамилии Угожаев — это человек по прозвищу Угожай, которого в быту называли «угодником» или «услужливым». Фамилия закрепилась за его потомками, и со временем прозвищный смысл стёрся, оставив лишь фамильный корень.