Фамилия Унгемах — редкий случай в русском ономастиконе. Сразу бросается в глаза её «нерусский» облик: отсутствие типичных суффиксов -ов, -ин, -ский, характерных для подавляющего большинства русских фамилий. Это почти наверняка фамилия немецкого происхождения, причём не переоформленная на славянский лад, а сохранённая в исходном виде.

Основа фамилии — немецкое Ungemach. В современном немецком языке это слово означает «неприятность», «досада», «беспокойство». Однако в роли прозвища оно, скорее всего, имело более конкретный смысл: так могли назвать неуживчивого, беспокойного человека, задиру или того, с кем постоянно случались неприятности. В средние века прозвища, образованные от абстрактных понятий, были не редкостью — они давали меткую характеристику человеку.

Фамилия Унгемах могла попасть в Россию вместе с волнами немецких переселенцев. Наиболее вероятный путь — через прибалтийских немцев или через колонистов, которых приглашала Екатерина II для освоения Поволжья и Новороссии. В отличие от многих других немецких фамилий, которые русифицировались (скажем, Шмидт становился Шмидтовым), Унгемах сохранила оригинальное окончание. Это указывает на то, что носители долгое время жили в обособленных общинах, где немецкий язык и традиции именования оставались устойчивыми.

Встречается эта фамилия и в еврейской среде (особенно у ашкеназов), где немецкие или идишские прозвища также нередко становились фамилиями без дополнительных суффиксов. В таком случае значение могло быть тем же — «непоседа» или «беспокойный».

Географически в Российской империи Унгемах фиксировалась в губерниях, где были немецкие колонии, — например, в Самарской, Саратовской, а также в Прибалтике. После 1917 года многие носители эмигрировали, и сегодня фамилия встречается и в Германии, и в США, и в странах СНГ, но в России остаётся крайне редкой.

Таким образом, фамилия Унгемах — это не переосмысленное русское слово, а прямое заимствование немецкого прозвища. Ваш предок, скорее всего, был человеком с непростым характером или нелёгкой судьбой, и окружающие закрепили за ним это нелестное, но точное именование.