Фамилия Унямина — женская форма, мужская, соответственно, Унямин. При взгляде на неё сразу бросается в глаза редкий суффикс -ин, но ещё необычнее основа. В русских фамилиях на -ин обычно лежат имена или прозвища, оканчивающиеся на -а/-я (Петя — Петин, Гриша — Гришин). Здесь же основа «Уням» — нестандартная, что заставляет искать корни не в каноническом имени, а в прозвище или диалектном слове.

Самая вероятная версия — происхождение от глагола «унять» в значении «успокоить, остановить, усмирить». В северных и сибирских говорах слово «уням» могло означать «тишину, покой» или «прекращение чего-либо». Прозвище Уням могли дать либо очень спокойному, уравновешенному человеку, либо, наоборот, тому, кого постоянно приходилось унимать — шалуну или буяну. В русской ономастике такой словообразовательный ход — отвлечённое существительное от глагольной основы — встречается, но редко, что делает фамилию локально ценной.

Менее убедительна, но возможна связь с тюркскими корнями. В некоторых тюркских языках есть слова, близкие к «уням» (например, «өнөм» — продукт, польза в башкирском), но для фамилии с русским суффиксом -ин это выглядит натяжкой. Скорее всего, перед нами чисто русское прозвищное образование, возникшее в среде крестьян или посадских людей где-то на севере или в Приуралье — там, где диалекты лучше сохраняли такие формы.

Фамилия очень редкая. В открытых данных она встречается единично, в основном в центральных областях России, что может говорить о миграции одной семьи. Никаких сведений о дворянском происхождении или принадлежности к известному роду нет — это фамилия простого люда, где прозвище закрепилось за родом без изменений.