Фамилия Узгорская, скорее всего, женская форма от Узгорский, и её основа — географическое прозвище. В ней отчётливо слышен корень «гор-», связанный с горой или возвышенностью, а приставка «уз-» в древнерусском и белорусском языках могла означать «у», «возле», «при». Таким образом, Узгорский — это буквально «тот, кто живёт у горы», «подгорный» или «пригорный житель». Такие прозвища давали человеку по месту его проживания: если село стояло у подножия холма или на склоне, его жителей и могли прозвать Узгорскими.

Суффикс -ск- типичен для фамилий, образованных от названий населённых пунктов. Вполне вероятно, что существовала или существует деревня с названием Узгорье, Узгорки или Узгорская. В топонимике Польши, Беларуси и западных областей России встречаются названия с элементом «Гура» (гора) и приставками, а «уз-» — это местный диалектный вариант. Например, в польском языке есть слово «uzgórze» — возвышенность, пригорок. Так что фамилия могла возникнуть на территории, где было сильно польское или западнорусское влияние.

Словообразовательная модель Узгор-ск-ая указывает на то, что первоначально это было прилагательное, отвечавшее на вопрос «чей?» или «откуда?». В XIX веке такие фамилии часто закреплялись за дворянскими и священническими родами, но не исключительно: крестьяне, переселившиеся из какой-нибудь деревни Узгорье, тоже могли получить это прозвище при переписи. В отличие от более распространённых фамилий на -ов/-ев, Узгорская встречается редко, и это делает её ценной для генеалогии — носители, скорее всего, имеют общего предка из одного конкретного места.

Интересная деталь: приставка «уз-» в русских фамилиях встречается нечасто. Есть фамилии Узлов, Узкий, но «Узгорский» стоит особняком. Это не искажённое «Подгорский» или «Загорский», а самостоятельное образование. Если ваш предок носил такую фамилию, стоит обратить внимание на карты Гродненской, Минской или Волынской губерний — там, где холмистый рельеф и традиция называть урочища «горами» даже для небольших возвышенностей.