Фамилия Ужаровкая — редкий случай, когда написание почти наверняка ошибочное. Скорее всего, вы ищете фамилию Ужаровская. Дело в суффиксе: в русской ономастике типичная модель для фамилий-прилагательных — -ск- (Ужаровский), а -к- (Ужаровкая) — это грамматическая форма женского рода, которая в документах и устной речи часто превращается в искажённое написание. Если у вас в свидетельстве или паспорте именно «Ужаровкая», то это, вероятно, описка писаря или особенность передачи фамилии через украинское или белорусское произношение, где окончание -ая звучит как -ая, но пишется по-разному.

Основа фамилии — Ужар. Здесь два возможных корня. Первый, самый прямой — от слова «ужар» в значении «жар», «зной» или «горячий уголь». В южнорусских и украинских говорах «ужар» означало сильный жар, а «ужариться» — сильно нагреться. Прозвище Ужар могли дать человеку с горячим нравом, вспыльчивому, либо тому, кто работал у печи — кузнецу, хлебопёку. Второй, менее вероятный корень — от тюркского «ужар» (устар. «узар») — «победитель», «герой». Но для фамилии, бытующей в русскоязычной среде, первая версия надёжнее.

Суффикс -ов- указывает на принадлежность: Ужаров — сын или потомок Ужара. А окончание -ский превращает отчество в фамилию-прилагательное, типичную для польской, украинской и западнорусской шляхты или духовенства. Фамилии на -ский часто давали по названию местности, но «Ужаровский» могло означать и «выходец из села Ужарово». Такие топонимы встречаются на Украине и в Белоруссии (например, деревня Ужарово в Житомирской области). Таким образом, предок носителя фамилии мог быть либо горячим человеком, либо жителем села с похожим названием.

Географически фамилия Ужаровский (и её варианты) чаще всего встречается на западе России, в Беларуси и на Украине. В дореволюционных списках она не была распространённой — это редкая, локальная фамилия. Сословно её носители могли быть как крестьянами (прозвище по характеру), так и мелкими дворянами (если фамилия образована от названия имения). Точных данных о знаменитых носителях нет — фамилия осталась в тени более частых однокоренных вроде Жаров или Жарков.