Фамилия Валяугайте звучит не по-русски, и это верная подсказка: перед нами литовская фамилия в женском роде. В Литве фамилии имеют чёткую родовую форму. Мужской вариант здесь — Валяугайтис (Valiūgaitis), а для замужней женщины использовали бы Валяугайтене (Valiūgaitienė). Форма на -айте — это девичья фамилия, которую носила незамужняя дочь. Так что, скорее всего, корни человека с такой фамилией ведут в Литву, а сама фамилия досталась по женской линии.

Основа фамилии — литовское слово valiūkas или valiūga. В словаре это слово имеет два значения, и оба прозрачно объясняют происхождение прозвища. Первое — «бездельник», «гуляка», «повеса». Второе — «батрак», «работник по найму». Казалось бы, значения противоположные, но сходятся в одном: и тот, и другой не были хозяевами своей жизни. Прозвище Валяуга могли дать либо ленивому человеку, который любил слоняться без дела, либо, наоборот, наёмному работнику, который батрачил на чужих полях. В любом случае, основа фамилии — бытовая, крестьянская, без дворянского налёта.

Суффикс -айтис (в мужском варианте) указывает на происхождение от кого-то: Валяугайтис — это буквально «сын Валяуги» или «потомок Валяуги». Такая модель образования фамилий очень распространена в Литве и сродни русским фамилиям на -ов/-ев, только с другим национальным колоритом. Фамилия Валяугайте — это та же самая модель, только в женском варианте: «дочь Валяуги».

Встретить фамилию Валяугайте можно прежде всего в Литве, а также среди литовских диаспор. В России и Беларуси она редка, но может попадаться в регионах, граничащих с Литвой, или в местах исторического расселения литовцев. Если ваш предок носил такую фамилию, он почти наверняка был крестьянином или батраком, жил на территории современной Литвы, а сама фамилия указывала на его характер или род занятий — ленивый гуляка или подёнщик.