Фамилия Варрие — редкий случай в русском ономастиконе. Она не вписывается в типичные славянские модели на -ов, -ин или -ский. Её основа, скорее всего, иноязычная, а написание выдает попытку передать нерусское звучание кириллицей. Вероятнее всего, перед нами фамилия французского или итальяно-швейцарского происхождения, записанная на слух.

В основе лежит французская фамилия Varrier или итальянская Vari, Varrì. Во Франции Varrier могла образоваться от старофранцузского «varrier» — «меняющийся, непостоянный» или как профессиональное прозвище менялы (от «varre» — размен). В Италии Varrì — это топонимическая фамилия, указывающая на уроженца местечка Варри (Varrì) в Лигурии. Семантика корня восходит к латинскому «varius» — «разноцветный, пёстрый, различный». То есть прозвище могло относиться к человеку с пёстрой одеждой, непостоянным характером или к меняле, работавшему с разными монетами.

В России фамилия Варрие встречается крайне редко и почти исключительно в среде потомков обрусевших иностранцев, чаще всего французских гувернёров, учителей, офицеров или ремесленников, приехавших в империю в XVIII–XIX веках. Вторая волна могла быть связана с эмигрантами после революции 1917 года. Написание с «ие» на конце — типичная русификация: во французском окончание -ier часто читается как «-ье», а в русской записи закрепилось как «-и(e)», чтобы сохранить мягкость согласного и отличить фамилию от славянских форм.

Словообразовательная модель здесь не русская, а заимствованная: корень + французский суффиксальный элемент -ier/-iée. В русском языке фамилия остаётся несклоняемой (как и положено фамилиям на -ие). Сравнение с однокоренными фамилиями вроде Варри, Варрье, Вари показывает, что Варрие — один из вариантов адаптации, при котором ударение, скорее всего, падает на последний слог: Варрие́.

Если ваши предки носили эту фамилию, то с высокой вероятностью они были выходцами из Франции или Северной Италии, осевшими в России. Документальные следы стоит искать в метрических книгах католических приходов Москвы, Санкт-Петербурга или Одессы, а также в списках иностранных специалистов на русской службе.