Фамилия Веещако — редкая и необычная по звучанию. Чтобы понять её происхождение, нужно в первую очередь разобрать суффикс. Окончание «-ко» характерно для украинской и белорусской ономастики, где оно часто указывает на уменьшительно-ласкательную или патронимическую (по отцу) форму. То есть перед нами типичная восточнославянская фамилия, образованная от прозвища или имени.

Корень «Веещ-» — самый сложный элемент. В русском, украинском и белорусском языках нет прямого слова «вееща» или «веещ». Наиболее вероятная версия связывает эту основу с диалектным глаголом «веещать» — говорить, вещать, произносить. В таком случае прозвище Вееща (или Веещак) мог получить человек говорливый, любивший поучать, рассказывать новости или, наоборот, вещавший что-то важное на сходе или собрании. Суффикс «-ак» в прозвище (Веещак) мог обозначать носителя признака: «тот, кто веещает».

Менее вероятная, но допустимая гипотеза — связь с основой «вещ-» (вещь, предмет). В некоторых говорах «вееща» могло быть фонетическим вариантом слова «вещь» с особым произношением. Тогда прозвище могло относиться к человеку, который занимался изготовлением или торговлей вещами, либо получил его по какой-то характерной детали обихода. Однако эта версия слабее, так как требует дополнительного перехода значений, в то время как глагольная основа «веещать» прозрачнее.

Модель образования фамилии проста: от прозвища Вееща (или Веещак) с помощью патронимического суффикса «-ко» (Вееща + ко). Фамилия почти наверняка закрепилась на территории современной Украины или юга Беларуси, где такие формы особенно распространены. Встречаемость фамилии крайне низкая, что говорит о её локальном происхождении — возможно, от одного родоначальника в конкретном селе или местечке. Сословной привязки нет: «-ко» встречалось и у крестьян, и у казаков, и у мещан.

Таким образом, предок носителя фамилии Веещако с большой долей вероятности был человеком, известным своей речью — красноречивым, говорливым или склонным к наставлениям. Прозвище дали ему по характерному поведению, а фамилия закрепилась за потомками в украинской или белорусской среде.