Фамилия Веевник — редкий случай, когда основа слова и суффикс не складываются в привычную картину. На слух она кажется образованной от глагола «веять» (веять зерно, веять ветром), но тогда логичнее было бы ожидать фамилию Веяльщик, Веятель или Веев. Суффикс -ник указывает на лицо по роду занятий или предмет: мельник, печник, сапожник. Если следовать этой модели, Веевник — это человек, занятый веянием, то есть работник на току, который отделял зерно от мякины с помощью лопаты или веялки. Такое прозвище могли дать крестьянину в северных и центральных губерниях России, где ручное веяние было обычным делом до появления сложных машин.

Но здесь есть лингвистическая тонкость. В русских говорах слово «веевник» не зафиксировано как нарицательное для обозначения профессии. Обычно говорили «веяльщик», «веятель», а орудие труда называли «веялка». Поэтому фамилия могла возникнуть не от прямого названия ремесла, а от прозвища, данного человеку по какой-то внешней или поведенческой черте, связанной с ветром или веянием. Например, Веевником могли прозвать рассеянного, «ветреного» человека, который всё делает наспех, или, наоборот, того, кто любит работать на открытом воздухе.

Есть и более прозаичная версия: фамилия могла образоваться от неканонического имени или прозвища Веян, Вея, а суффикс -ник добавился по аналогии с другими фамилиями (типа Шишков → Шишковник, но это уже натяжка). В пользу этой гипотезы говорит то, что в документах XV–XVII веков встречаются прозвища Вея (от «веять» в переносном смысле — быстро двигаться) и Веян, но фамилия Веевник среди них не попадается.

Географически фамилия крайне редкая. В современных базах данных она встречается единично, преимущественно в центральной России и на юго-западе. Это говорит о том, что она могла возникнуть в одной локальной местности и не распространилась широко. По сословной принадлежности предки Веевников, скорее всего, были крестьянами или ремесленниками, работавшими с зерном, но точных данных нет.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Веевников (с суффиксом -ов) встречается чаще, и он более прозрачен: «чей? — Веевника». Форма без -ов — Веевник — архаичная, она сохранила исходное прозвище в чистом виде, без притяжательного суффикса, что характерно для украинских и белорусских фамилий, а также для некоторых русских прозвищных фамилий, не прошедших стандартную русификацию. Так что, возможно, корни фамилии уходят в западнорусские или малороссийские земли.