Фамилия Велагаев — редкая и неочевидная с точки зрения корня. Если отбросить типичный русский суффикс -ев (на самом деле это патронимический формант, указывающий на принадлежность: «чей?» — Велагаев, то есть сын или потомок Велагая), остаётся основа «Велагай». Вот с ней и главная загадка.

В русских говорах и фамилиях на -ай часто скрываются прозвища, образованные от глаголов или прилагательных: «гуляй», «ломай», «стреляй», «прощай». Но «велагай» — не глагол в повелительном наклонении и не диалектное слово, которое легко найти в словарях. Скорее всего, перед нами тюркский след. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) есть корень «вела» или «ула», связанный с понятиями «сын», «потомок», «святой» (от арабского «вали» — святой, угодник). Суффикс -гай в тюркских именах и прозвищах — распространённый аффикс, образующий прилагательные или имена со значением «обладающий признаком». Таким образом, Велагай могло быть прозвищем или именем, означающим «святой», «благочестивый» или «сын святого». Фамилия могла возникнуть в среде крещёных татар, башкир или других тюркских народов Поволжья и Приуралья.

Вторая, менее вероятная версия — связь с диалектным русским глаголом «велать» (устаревшее, означало «велеть», «приказывать»). Тогда Велагай — это «тот, кто велит, распоряжается», то есть прозвище вожака или старшего. Но такая основа редка и почти не встречается в фамилиях, поэтому тюркское происхождение выглядит убедительнее.

Географически фамилия Велагаев встречается в основном в Оренбургской области, Башкортостане и Татарстане — как раз в зоне многовекового русско-тюркского пограничья. Это косвенно подтверждает тюркскую версию. По сословной принадлежности предки Велагаевых, скорее всего, были государственными или ясачными крестьянами (не крепостными), либо казаками — в Оренбургском казачьем войске фамилии с тюркскими корнями не редкость.

Итог: фамилия Велагаев образована от прозвища или имени Велагай, которое, по всей видимости, восходит к тюркскому корню со значением «святой» или «потомок святого». Суффикс -ев указывает на патроним — «сын Велагая». Носители фамилии — потомки людей, живших на стыке русской и тюркской культур, вероятно, на Южном Урале или в Поволжье.