Фамилия Веркиенко — украинская по модели образования, что видно по суффиксу -енко. В украинской ономастике этот суффикс — самый распространённый патронимический показатель, означающий «сын» или «потомок». То есть Веркиенко — это буквально «сын Веркия» или «человек из рода Веркия». Географически фамилия тяготеет к центральным и восточным областям Украины, особенно к Полтавщине и Черкащине, где фамилии на -енко исторически преобладали.

Основа фамилии — Верк-. Здесь возможны два основных объяснения. Первое и самое вероятное: это сокращённая форма от канонического имени Верк (или Верко), которое в свою очередь могло быть народной формой от крестильного имени Верк (редкое, встречается в святцах как Верк, от латинского «verus» — истинный). В украинской традиции такие усечённые имена (Верк, Верко) давали в быту, а затем от них образовывали фамилии. Второй вариант: основа связана с украинским диалектным словом «верк» — так в некоторых говорах называли верёвку или бечёвку. В таком случае прозвище Верко мог получить человек, занимавшийся плетением верёвок или торговавший ими. Но эта версия менее убедительна, потому что для прозвищ от названий ремёсел суффикс -енко нехарактерен — обычно такие прозвища давали без патронимического суффикса (Верёвкин, Верёвочкин).

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает уточнить картину. В России встречается фамилия Веркин — она явно русского происхождения, с суффиксом -ин, и тоже восходит к имени Верка (уменьшительное от Вероника или от редкого Верк). Украинская Веркиенко — не то же самое; это самостоятельная фамилия, возникшая в среде, где патроним на -енко был нормой. В польской ономастике есть фамилия Werk (Верк), но она скорее немецкого происхождения, и к украинской Веркиенко прямого отношения не имеет.

Социальный контекст: фамилии на -енко в XVI–XVII веках сначала закрепились у казацкой старшины и мещан, а затем распространились на всё население. Носитель фамилии Веркиенко, скорее всего, был потомком человека, которого в документах записывали как «Верко» или «Веркий» — это мог быть казак, ремесленник или крестьянин. Дворянского происхождения эта фамилия не имеет — в родословные книги Российской империи она не входила, так как украинские фамилии на -енко редко попадали в гербовники.

Итог: фамилия Веркиенко — украинский патроним, образованный от личного имени Верко (Верк). Носители её — потомки человека с таким именем или прозвищем, жившего, вероятнее всего, на Левобережной Украине в XVII–XVIII веках.