Фамилия Вертяховский — редкая и сложная для однозначного толкования, но почти наверняка имеет географическое происхождение. Суффикс «-ский» указывает на то, что её носитель был выходцем из какого-то места, владельцем поместья с таким названием или жителем определённой местности. В отличие от простых патронимических фамилий на «-ов», такие фамилии чаще встречались у польской шляхты, западнорусских дворян и духовенства, а также у еврейских семей, получивших фамилии по названиям местечек.

Корень «Вертях-» не встречается в русском языке в качестве распространённого слова или имени. Самая логичная версия — топонимическая: фамилия могла образоваться от названия населённого пункта Вертяхово или Вертяховка. Такие названия, в свою очередь, обычно происходят от прозвища или имени первопоселенца — Вертях. Это прозвище могло быть связано с глаголом «вертеть»: так могли прозвать непоседливого человека, вертуна, или, напротив, того, кто занимался каким-то ремеслом, связанным с вращением, — например, токаря или мельника. В говорах «вертях» могло означать и «быстрый, проворный» человек.

Менее вероятна, но возможна версия от слова «вертячка» — так в некоторых областях называли головокружение или болезнь скота. Однако прозвища по болезням давали редко и обычно с иронией, поэтому эта гипотеза слабее.

Поскольку фамилия оканчивается на «-ский», а не на «-ов», она вряд ли возникла в среде крепостных крестьян центральной России. Скорее всего, её носители относились к мелкопоместному дворянству, духовенству (семинаристам часто давали фамилии по названиям сёл) или, если речь о западных губерниях, к польской шляхте. Встречается она крайне редко, и найти её в дореволюционных справочниках по сословиям — задача непростая. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать не в общих списках крестьян, а в метрических книгах костёлов или в документах о землевладении в западных губерниях Российской империи.