Фамилия Возгречко — яркий пример украинской модели фамилий на -ко, характерной для Поднепровья, Полтавщины и Черниговщины. Суффикс -ко в украинской антропонимии выполнял роль уменьшительности или принадлежности: им оформляли прозвища и имена, превращая их в наследственные фамилии. Основа же Возгре- — самая интересная часть.

Корень фамилии восходит к слову «возгря» — так в старину называли слизь из носа, сопли. Прозвище Возгря или Возгривый давали человеку с хроническим насморком, неопрятному, либо в переносном смысле — капризному, «сопливому» (в значении незрелого или плаксивого). Это яркая, хотя и нелестная, бытовая характеристика, типичная для древнерусских прозвищ: фамилии часто возникали из внешних или поведенческих черт, которые бросались в глаза соседям.

Форма Возгречко означает «маленький Возгря» или «сын Возгри». В украинской ономастике суффикс -к- (-ко, -енко) часто указывал на потомка: Иваненко — сын Ивана, Возгречко — сын (или внук) Возгри. Таким образом, первый носитель фамилии был, скорее всего, сыном человека, за которым закрепилось прозвище Возгря.

Встречаются и параллельные формы — Возгрин, Возгривый, Возгря. Но Возгречко — именно украинская фамилия с характерным окончанием. Географически она тяготеет к восточным областям Украины (Сумщина, Харьковщина) и югу России, куда переселялись украинские крестьяне в XVIII–XIX веках.

Стоит отметить, что, несмотря на «неблагозвучное» происхождение, фамилия Возгречко не несёт негативного оттенка для носителей сегодня: она стала обычной наследственной фамилией, за которой стоит история конкретной семьи, а не физический недостаток предка.