Фамилия Возгрива — редкий пример прозвища, перешедшего в наследственное именование без изменений, через «чистую» модель на -а. В отличие от большинства русских фамилий, которые оформлялись суффиксами -ов, -ев или -ин (Возгривов, Возгривин), здесь прозвище застыло в форме женского рода. Такое явление характерно для украинской и южнорусской традиции, где фамилии на -а встречаются чаще, а также для случаев, когда фамилию зафиксировали в документах с прозвища, уже данного женщине или через мать.

Основа фамилии — слово «возгривый», то есть сопливый, с постоянно текущими из носа выделениями. В древнерусском языке «возгра» означала сопли, слизь. Прозвище Возгривый давали человеку не обязательно в насмешку над неопрятностью. В крестьянской среде так могли назвать ребёнка, который часто болел простудными заболеваниями, или взрослого, страдавшего хроническим насморком. Прозвища по физическим особенностям — одна из древнейших и самых распространённых групп русских некалендарных имён.

В ономастике эту фамилию не обошли вниманием. Б. Унбегаун в «Русских фамилиях» упоминает корень «возгр-» в ряду прозвищных фамилий, образованных от названий болезней или физических состояний. В. Никонов в «Словаре русских фамилий» относит подобные основы к разряду «неканонических личных имён», которые давали с целью «обмануть» нечистую силу: считалось, что неблагозвучное имя отпугнёт болезни или злых духов от ребёнка. Поэтому Возгрива могла быть не обидным прозвищем, а охранительным именем.

География фамилии узкая. В современных базах данных Возгрива встречается в основном на юге России (Волгоградская, Ростовская области) и на Украине. В центральных и северных регионах распространены варианты Возгривов, Возгривин — с патронимическими суффиксами. Форма на -а без суффикса — маркер того, что фамилия могла быть записана по материнской линии или в украинской среде, где такие окончания нормативны для фамилий женского рода, передаваемых по наследству.

С точки зрения словообразования, фамилия Возгрива стоит особняком. Если бы её носил мужчина, в документах она могла выглядеть как Возгривый, но в быту и при переписи её закрепили в женской форме. Это не ошибка писаря, а отражение реальной практики: в некоторых регионах до XX века фамилии могли не склоняться и передаваться в том виде, в каком их впервые записали.