Фамилия Вяжанский образована по продуктивной модели на -ский, характерной для польской, украинской, белорусской и русской знати, а также для духовенства. Такие фамилии обычно указывали на географическое название — место, откуда родом основатель рода. Поэтому первое, что приходит в голову: предок носителя фамилии был выходцем из населённого пункта с корнем «Вяж-». И такие пункты действительно есть. На карте России и Беларуси встречаются деревни Вяжное (например, в Тамбовской области), Вяжа, Вяжанка. Названия эти, скорее всего, связаны с диалектным словом «вяжкий» — вязкий, топкий, болотистый. То есть Вяжанский — это «тот, кто с Вяжей», с речки или из села на болотистой почве.

Менее очевидная, но возможная версия отсылает к прозвищу Вяжан. В русских говорах «вяжа» — это не только болото, но и связка, вязанка чего-либо (от глагола «вязать»). Прозвище Вяжан могли дать человеку, который занимался плетением, вязанием, изготовлением верёвок или корзин. Однако суффикс -ский в таком случае нетипичен для чисто прозвищных фамилий крестьян: они чаще оформлялись через -ов/-ев или -ин. Поэтому топонимическая версия надёжнее.

С точки зрения социальной истории, фамилия Вяжанский могла принадлежать либо мелкопоместному дворянству (типичная «географическая» фамилия для шляхты), либо, что встречается чаще, — выходцам из духовного сословия. Семинаристам нередко давали фамилии по названию их родного села, причём в форме прилагательного на -ский. Если ваш предок носил фамилию Вяжанский, велика вероятность, что он был сыном священника или дьячка из села с болотистым названием.

В написании фамилии возможны варианты через «е» (Вяженский), но форма с «а» (Вяжанский) более архаична и лучше сохраняет связь с исходным топонимом. Встречаемость фамилии крайне невысокая — это редкая фамилия, что подтверждает её локальное происхождение. Известных исторических деятелей с такой фамилией нет, что типично для фамилий, не попавших в столичные родословные книги.