Фамилия Выржаковская — женская форма, а мужская, соответственно, Выржаковский. Она сразу указывает на своё географическое происхождение: такие фамилии на -ский/-цкий в классическом виде давались по названию местности, откуда был родом основатель рода. В основе лежит топоним Выржаково или Выржаков. Искать его стоит на западе или юго-западе бывшей Российской империи — в Беларуси, на Украине или в Польше, где суффикс -ов-ский особенно распространён.

Корень «вырж-» — спорный и редкий. Самая вероятная версия: он восходит к слову «выр» или «вырь». В древнерусском и украинском диалектах «вырь» — это омут, водоворот, глубокое место в реке, а также болотистая низина. Отсюда же названия рек Выр, Вырица. Человек, живший у такого места, мог получить прозвище Выржак (с суффиксом -ак, характерным для прозвищ), а его потомки — Выржаковские. Менее вероятна связь с личным именем, например, с календарным Варсонофий (в просторечии Варсак, но переход в «Вырж-» маловероятен).

Суффикс -ск- в этой фамилии — типичный признак шляхетского или дворянского происхождения. В XVI–XVIII веках такие фамилии в Польше и Речи Посполитой получали мелкие землевладельцы, которые брали фамилию по названию своего поместья или хутора. Если Выржаково было небольшим имением, его владельцы и стали Выржаковскими. На территории современной России фамилия встречается редко, что подтверждает её западные корни.

Итак, перед вами фамилия, образованная от названия места у речного омута или болота, с характерным дворянским суффиксом. Предки Выржаковских — скорее всего, мелкая шляхта или землевладельцы из западных губерний, которые получили фамилию по своему хутору в XVI–XVII веках.