Фамилия Вержаковская — типичный пример «географической» фамилии, образованной по польско-белорусской модели. Её основа — топоним Вержаково или Вержаковка. Суффикс -ский/-ская в таких фамилиях указывает на связь с местностью: владелец или уроженец этого места. Модель активно работала в Речи Посполитой, а после разделов Польши перешла в российскую традицию, особенно на западных окраинах империи.

Корень «Вержак» сложнее. Вероятнее всего, он восходит к древнерусскому глаголу «верзати» — вязать, связывать, плести. В старых говорах «верза» могло означать веревку или плетеное изделие. Тогда Вержак — прозвище мастера, который плел корзины, лапти или вязал сети. Менее убедительна версия о связи с рекой Верх (например, Верхняя) или личным именем Верещага — фонетически «вержаковский» отстоит от них далеко.

Ударение в фамилии плавает: в русской среде чаще говорят Вержако́вская, в польской — Вержако́вска. Окончание -ая в русском языке — это адаптация польской формы -а; в оригинале фамилия могла звучать как Wierżakowska. Написание через «е», а не «ё» тоже говорит о том, что корень не был связан с «верх» или «вершить».

Сословно носители фамилии — скорее всего, мелкая шляхта или однодворцы, которые после закрепощения крестьян на западе страны сохраняли личную свободу, но не имели крепостных. Встречаемость фамилии сегодня низкая: она локализована в Брестской и Гродненской областях Беларуси, а также в Смоленской области России — на стыке исторических границ. Поиск по архивам лучше начинать с метрических книг Гродненской губернии XIX века.

Если ваша фамилия Вержаковская, предки с высокой вероятностью жили на территории современной Беларуси или западной России, а их прозвище указывало на ремесло, связанное с плетением. Точнее сказать можно только после генеалогического поиска по конкретной местности.